Hladik 10.2.

Varianta B

1. Uvažujme báze prostoru $R^3$
   $B_1:(2,1,1),(3,2,3),(4,3,6)$
   $B_2:(1,2,1),(-1,0,3),(1,-2,1)$,
   a lineární zobrazení $f:R^3\to R^3$ definované maticí
   ${}_{B1}[f{]}_{B2}=(223,-156,312)$
   Najděte ortogonální doplněk k $f(R^3)$.

2. Zformulujte a dokažte Steinitzovu větu o výměně.

3. Nad tělesem $Z_7$ uvažujme dva prostory U, V:
   U = { x náleží $Z_7^3\mid x_1+x2+x3=0$ },
   V = [ (2,3,5) , (5,1,0) ].
   Najděte bázi prostoru U + V a prostoru U průnik V.

4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
   (a) Pro každou čtvercovou matici A platí, že $A^2=0$ implikuje S(A) je podmnožina N(A).
   (b) To, že vektory u,v,w tvoří bázi prostoru V je podmínka nutná, ale ne postačující pro to, aby to byly generátory V.
   (c) Buď $f:R^n\to R^n$ lineární zobrazení, jehož matice (vůci kanonické bázi) má hodnost $n$. Potom f je prosté.
   (d) Existují čísla x,y,u,v náleží R taková, že $(4x+5y+2u+2v)>7\ast \sqrt{x^2+y^2+u^2+v^2}$.

Řekl bych, že docela těžký, podle toho taky vypadaly známky po písemce - 13 x 5, 3 x 4, 3 x 3.

BTW neptali jste se někdo Hladíka, jestli nebude nějakej termín v letnim semestru nebo v září?